Logaritma

Masalah

Yusuf adalah seorang pelajar kelas X di kota Kupang. Ia senang berhemat dan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp 1.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agar uangnya lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga 10% per tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp 1.464.100,-!

Modal awal (M_o) = 1.000.000,- dan besar uang tabungan setelah sekian tahun (M_t) = 1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10% = 0,1.

Ditanya: Berapa tahun (t) Yusuf menabung agar uangnya menjadi (M_t) = 1.464.100.-

Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf setiap akhir tahun pada tabel sebagai berikut.

Dari tabel di atas, jelas kita lihat bahwa Yusuf harus menabung selama 4 tahun agar uangnya menjadi Rp 1.464.100,-. Selanjutnya, kita akan menyelesaikan permasalahan di atas dengan menggunakan logaritma, setelah kita mengenal sifatsifat logaritma. Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas tentang pemangkatan suatu bilangan.

Kita tahu bahwa 23 hasilnya adalah 8 yang dapat ditulis 23 = 8. Sehingga bila ada persamaan 2x = 8, maka nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah x = 3. Perhatikan Tabel-1.2 di atas, kita peroleh 1.464.100 = 1.000.000 (1+0,1)4 . Jika 4 = t, maka persamaan tersebut menjadi 1.464.100 = 1.000.000 (1 + 0,1)t .

Hal ini dapat dikaitkan dengan bentuk eksponen yang sudah dipelajari sebelumnya, yaitu ac = b, dengan memisalkan a = (1 + 0,1), b = 1, 464100, dan c = t. Bagaimana cara menentukan nilai c = t = 4? Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan invers dari eksponen, yaitu logaritma. Logaritma, dituliskan sebagai “log”, didefinisikan sebagai berikut.

^a log b = n b = aⁿ

Dimana: a adalah bilangan pokok, a > 0, a1

   b adalah numerous, b > 0

   n adalah hasil logaritma

Contoh :

a.       2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2  = 16

b.      10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000

Dari contoh di atas tampak bahwa apabila bilangan pokok dan pangkatnya diketahui maka dapat ditentukan hasil perpangkatannya. Nah!  Permasalahannya adalah bagaimana cara menentukan pangkat, apabila bilangan pokok dan hasil perpangkatannya diketahui:

Misal :

a.       Berapa n, jika 2ⁿ = 16

b.      Berapa x, jika 10^x = 1.000

Jawaban permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara yang disebut logaritma. Nilai n atau x tersebut ditentukan sebagai berikut :

a.       2ⁿ = 16 maka n = ²log 16 = ²log 2⁴ = 4

b.      10^x = 1.000 maka x = ¹⁰log 1.000 = ¹⁰log 10³ = 3

Sifat-sifat Logaritma

1.      ^a log a = 1

2.      ^a log 1 = 0

3.      ^a log aⁿ = n

4.   

5.   ^a log bⁿ = n. ^a log b, dengan b  0, n bilangan rasional

6.   ^a log bc = ^a log b + ^a log c, dengan a, b, dan c bilangan riil positif dan a 1

7.      ^a log = ^a log b  ^a log c, dengan a, b, dan c bilangan riil positif dan a1

8.   ^a log b ^b log c = ^a log c, dengan a > 0, a1, b > 0, b1, c > 0

9.

10.